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El desafío radial de un calendario y una fórmula de difícil solución
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En el trayecto de regreso en auto, del trabajo a mi casa, suelo escuchar el programa de radio Metro y medio (Metro 95.1) que, dicho sea de paso, me parece extraordinario. Durante 2019, en el ciclo idearon un juego que consiste en llenar un calendario de un año cualquiera (digamos que no bisiesto -o sea de 365 días-) con las fechas de cumpleaños de los oyentes. Los que salen al aire en el programa comparten su fecha de cumpleaños y así se va completando el calendario. Naturalmente el primer oyente que llamó al iniciarse el juego encontró todas las fechas disponibles, pero a medida que el juego avanza resulta cada vez más probable que la fecha de cumpleaños del nuevo oyente ya haya sido tachada por uno anterior o, lo que es lo mismo, que la fecha del nuevo oyente se encuentre aún sin tachar. De esta manera el ritmo de avance para el cumplimiento del objetivo de llenar el calendario se hace cada vez más lento.
Ante esta situación -y la ansiedad que caracteriza al conductor del programa, Sebastián Wainraich-, decidieron llamar y poner al aire al reconocido matemático y periodista argentinoAdrián Paenza, que vive en Chicago. La pregunta concreta era la siguiente: ¿Cuántos oyentes tienen que llamar para completar el calendario? De esta manera podrían estimar en qué momento se completaría teniendo en cuenta que el programa se emite de lunes a viernes y la cantidad de oyentes que en promedio llaman por programa. Paenza, luego de aclarar que el tema tiene cierta complejidad y no es fácil de explicar por radio, dijo que lo esperable es que el juego se complete en aproximadamente 937 llamados. A continuación, hizo una atinada analogía con el número esperado de figuritas que hay que comprar para completar un álbum, digamos para hacerlo comparable, de 365 figuritas. Este ejemplo me recordó que el problema planteado tiene una solución precisa.
Sin embargo, para poder aplicar la solución matemática al problema se tienen que dar ciertas condiciones. En el caso del álbum de figuritas habría que asegurar que el fabricante produzca la misma cantidad de cada figurita, que las mismas se distribuyan en forma aleatoria entre los paquetes (incluso permitiendo que haya figuritas repetida en un mismo paquete) y entre los puntos de venta. En ese sentido el caso del almanaque es mejor si suponemos que hay una misma cantidad de personas que cumple años cada día (salvo el 29 de febrero) y que las fechas de cumpleaños no están influenciadas por ninguna característica de la población, entre ellas los oyentes del programa. Eso garantizaría la aleatoriedad salvo que la gente recuerde las fechas que fueron saliendo y los que cumplen en las fechas que aún no salieron se sientan más alentados a llamar y los otros menos.
El bloque del programa Metro y Medio con Adrián Paenza
Un ejemplo perfecto del mismo problema sería poner 365 bolillas en un bolillero numeradas del 1 al 365 y sacar una bolilla por vez, para luego reponerla, hasta que haya salido al menos una vez cada bolilla. La pregunta sería: ¿Cuál es la cantidad de bolillas que hay que sacar en promedio para completar el desafío? Le pedí a un grupo en la empresa donde trabajo que programe un modelo para calcular empíricamente qué cantidad de bolillas completaban los 365 números. No aguanté la espera e hice también por mi cuenta el cálculo en Excel. No lleva más de 5 minutos. El equipo de datos hizo mil veces el juego y en promedio necesitaron extraer 2.233 bolillas, yo obtuve un resultado similar: 2.257. Más del doble de lo que había anticipado Paenza.
Finalmente decidí revisar algunos libros que había leído porque creía recordar un ejemplo similar. En efecto, encontré en la obra La vida es matemática (A Numerate Life), de John Allen Paulos, un ejemplo similar aplicado a una situación de su infancia en que debía completar un álbum de figuritas de béisbol. Cito textualmente un pasaje: "La teoría de probabilidades dice que para obtener el álbum completo de N figuritas hay que comprar aproximadamente N x ln(N), o N veces el logaritmo natural de N figuritas". En nuestro ejemplo, 365 x ln(365), es decir, aproximadamente 2.153 llamados de los oyentes. Obsérvese que este resultado es muy similar al obtenido en la prueba empírica por computadora.
El mismo Wainraich comentó en la misma nota referida con Paenza que el programa tiene en promedio 20 llamadas de oyentes por semana. Digamos entonces que necesitan aproximadamente unas 110 semanas o 770 días o 2,1 años o 2 años, 1 mes y 1 semana para completar el desafío.
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