Cómo logró Arquímedes contar todos los granos de arena del Universo
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La ambición es a veces vista con malos ojos y Arquímedes, el matemático griego del siglo III a.C., definitivamente fue culpable de ese pecado. Pero la suya fue codicia de saber, la más loable.
Harto de que se dijera que cosas difíciles de contar, como la arena, eran infinitas, se impuso la tarea de hacerlo. Así como se lee: se propuso contar todos los granos de arena que cabían en el Universo conocido.
Una joya
Nacido en Siracusa, Sicilia, Magna Grecia en el año 287 a.C., Arquímedes fue un genio obsesionado por las matemáticas. Entre muchas cosas, fue a él a quien se le ocurrió un valor para p, uno de los componentes básicos de la ciencia, y su estimación se sigue utilizando hoy en día.
Y sí, fue él quién salió corriendo desnudo por las calles de Siracusa gritando "Eureka" tras solucionar una duda que tenía el rey Hieron II (c. 306-215 a.C.) mientras estaba en su tina, inventando de paso la hidrostática. Fue al sucesor de ese rey, Gelón II, al que le dirigió su ensayo "El contador de arena", una obra considerada como una joya, no solo por ser una de las primeras publicaciones científicas de la historia, sino porque:
- Incluyó la única referencia existente a su propio padre, el astrónomo Fidias.
- Demostró que es posible expresar números muy grandes en algún tipo de notación.
- Presentó una forma de extender el sistema griego de numeración para nombrar grandes números.
- Estimó el tamaño del Universo como se conocía en ese momento.
- Contiene un relato de un ingenioso procedimiento que utilizó Arquímedes para determinar el diámetro aparente del Sol mediante la observación con un instrumento.
- Crucialmente, da la descripción más detallada del sistema heliocéntrico de Aristarco de Samos (c. 310-230 a.C.), demostrando que este último estaba defendiendo el sistema copernicano dos milenios antes de Copérnico.
Incontable no es infinito
"Existen algunos, Rey Gelón, que creen que el número de granos de arena es infinito en multitud", empezó diciendo Arquímedes. Es más, escribió, "hay algunos que, sin considerarlo como infinito, creen que ningún número ha sido nombrado que sea lo suficientemente grande como para superar tal magnitud".
Con esto quieren decir, explicó, que están convencidos de que cualquier número que pudiera expresar esa magnitud, sería superado por la cantidad de arena que habría. "Pero voy a tratar de mostrar, por medio de demostraciones geométricas que usted será capaz de seguir que, de los números nombrados por mí, algunos superan no solo el número de la masa de arena de igual magnitud que la Tierra, sino también la de la masa de igual magnitud que la del Universo".
Y eso es lo que hizo en unas ocho páginas. Precisemos: Arquímedes no calculó la cantidad de granos de arena en el Universo, sino la cantidad de granos de arena que llenarían todo el espacio del Universo si estuviera lleno de arena.
En un mundo finito, no podía haber un número infinito de granos de arena. Había un tope... pero, ¿cuál era?
Miríadas de miríadas
En ese momento, el número más alto para el que los griegos tenían un nombre: 10 a la cuarta = 10.000, a lo que llamaban µ????? (murious), que significaba incontable y era también una palabra para 'infinito' en la Antigua Grecia.
Los romanos convirtieron esa palabra en miríada y es así como se la conoce ahora. Para poder hacer ese cálculo tan inmenso, tuvo que inventar lo que ahora llamamos exponentes o potencias. Partió de la miríada e introdujo una nueva clasificación de números.
Dijo que los números de primer orden eran los que llegaban a una miríada de miríadas. Es decir 10.000 x 10.000 = 100 millones o 100.000.000 o 108. Los de segundo orden iban de ahí a 100 millones x 100 millones = 108 x 108, es decir (108)².
El tercer orden fueron los de hasta 108 x 108 x 108, es decir, (108)³, y así. Entonces, ¿qué orden de números se necesitaban entonces para calcular la cantidad de granos de arena que cabían en el Universo? Según los cálculos de Arquímedes, se necesitaban números del octavo orden, es decir (108) 8 = 1064, o sea...
10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000. ¡Y quién le iba a discutir!
Lo otro que era indiscutible era que había creado una cifra tan grande que era altamente improbable que se fuera a necesitar una mayor para contar algo en el Universo que él imaginó.
¿Suficiente?
Mmm... no. A Arquímedes no parecían gustarle los límites. Los historiadores contemporáneos cuentan que se ponía eufórico cuando descubría formas matemáticas cada vez más complejas, conocidas como sólidos arquimedianos, que van desde el tetraedro truncado de 8 caras hasta el dodecaedro romo de 92 caras.
Y en el caso de los números, no tenía porqué ser distinto. Al fin y al cabo, su campo de acción, a diferencia de los granos de arena, era infinito. Así que no pudo resistir la tentación de seguir descubriendo enormidades. Para lograrlo, pasó de "órdenes" de números a lo que llamó "períodos".
El primero de esos períodos era (108) elevado a la (108) potencia. Es decir, 1 seguido por 800 millones de ceros. En este caso, no se puedo mostrar: Doug Stewart, de la Organización Científicos Famosos, calculó que si se escribiera, el número ocuparía 380.000 páginas de un libro.
No contento con esto, Arquímedes siguió hasta (108) elevado a la (108) elevado a la (108), un número que llamó "una miríada-miríada de unidades del orden miríada-miríada del período miríada-miríada".
Si su número para expresar el tope de los granos de arena que podían existir en el universo conocido en su época 1064 ya era demasiado grande para contar lo que en ese entonces se contaba, aún no hay nada que podamos contar en nuestro universo conocido hoy en día que se acerque a la enormidad de ese número que nos dejó.
Pero, para dejarte con una idea de su magnitud, quizás sea más claro si te digo que es 1 seguido de 80 cuatrillones de ceros... ¿una medida de la genialidad de la mente de su creador?
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