Los problemas de Hilbert: tres sorprendentes desafíos matemáticos que intrigan a la ciencia

“¿Quién de nosotros no se alegraría de levantar el velo detrás del cual se esconde el futuro; de echar un vistazo a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo durante los siglos futuros?”.

Con esas palabras, el gran matemático prusiano David Hilbert abrió su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos en París, el mismo en el que presentó una lista de 23 problemas matemáticos cuya resolución consideraba esencial para desvelar ese futuro que le intrigaba. Pero la colección fue tremendamente influyente e inspiradora.

Sus contemporáneos y sucesores se pusieron a hacer la difícil tarea y, desde entonces, 17 de los que se conocen como “los problemas de Hilbert” fueron parcial o totalmente resueltos. Y todos, hasta los intentos fallidos, llevaron al desarrollo de matemáticas muy profundas a lo largo del camino.

Ahora, 121 años más tarde, para marcar el lanzamiento de la Agencia de Investigaciones e Invenciones Avanzadas británica, el Instituto de Ciencias Matemáticas de Londres (LIMS) creó una nueva lista de retos matemáticos para nuestra era.

En un simposio, los miembros del Instituto examinaron los más de 100 desafíos que habían recopilado, que incluían las contribuciones de investigadores líderes de todo el mundo, y -siguiendo la pauta de Hilbert- escogieron 23 indudablemente ambiciosos retos.

“Sabemos que algunos mirarán la lista y se preguntarán cómo podemos hablar de cosas tan locas que ni siquiera sabemos cómo empezar a describirlas, pero las matemáticas nos llevaron a lugares mágicos antes muchas veces”, le dijo a BBC Mundo el físico Thomas Fink, director del LIMS y encargado de Investigación del Centro Nacional de la Investigación Científica de Francia (CNRS).

“Ni siquiera estamos cerca de obtener las respuestas, pero hay que recordar que estos problemas son una especie de hoja de ruta para los próximos cien años”, indicó. “Piensa en cuántas cosas sorprendentes que sucedieron en los últimos cien años, tan sorprendentes que parecen salidas del reino de la fantasía; cosas como la mecánica cuántica, que parece milagrosa pero ahora la aceptamos como parte de la realidad”, agregó, con un entusiasmo contagioso.

Y luego continuó: “Entre más nos adentramos en la física teórica y las matemáticas, más bellezas inmensas encontramos, así como monstruos y tesoros... es muy emocionante. A veces pienso que el mundo de las matemáticas y la física es más hermoso, más fascinante y más emocionante que la vida ordinaria, y me dan ganas de invitar a la gente a que se una a mi aventura”.

Por supuesto, aceptamos su invitación y le pedimos que nos hablara de tres de los desafíos que nos llamaron particularmente la atención: las teorías del libre albedrío, de la simplicidad y de la inmortalidad. En ese sentido, expresó:

Problema 13: Teoría del libre albedrío

Soy un físico teórico, y mis amigos que no son científicos a veces me preguntan cuáles son las cuestiones más grandes que enfrenta la ciencia, y les respondo: aquellas para las que no parece tener ni siquiera el comienzo de una respuesta.

Una de ellas es que aparentemente tenemos libre albedrío; no somos robots, tomamos nuestras propias decisiones, elegimos esto o lo otro y la inteligencia parece de alguna manera relacionada con la toma de decisiones correctas.

Mucho se basa en eso pero, ¿qué dice la física sobre el libre albedrío? No mucho, aunque hay ciertas cosas que empezamos a entender.

En su libro “La nueva mente del emperador”, por ejemplo, el físico matemático Roger Penrose -premio Nobel de Física 2020-, trató de entender la ciencia de la consciencia y exploró cosas fascinantes como qué puede ser; si somos deterministas o hay algo muy distinto a las máquinas en la manera en la que funciona el cerebro; si hay límites en la computación y si somos los humanos capaces de entender cosas que no son computables.

Y la última investigación que hizo otro de mis matemáticos favoritos John Conway (1937-2020) fue sobre algo llamado “el teorema del libre albedrío”, la relación entre ciertas interpretaciones de la mecánica cuántica y lo que podríamos pensar es el libre albedrío. Argumentó que es posible que el libre albedrío exista en sistemas mucho más generales que la vida biológica.

El punto es que, a pesar de que no tenemos muchas de las respuestas o incluso nos resulta difícil enmarcar el problema, eso no significa que el futuro no se abrirá y nos proporcionará formas de entender esto. Entonces, cualquiera que vaya a ser nuestra comprensión del libre albedrío, ya sea que no existe y es una ilusión, que depende de algo biológico o es que una propiedad mucho más general de la vida, ciertamente las matemáticas jugarán un papel importante.

Problema 19: Teoría de la simplicidad

Esto me apasiona porque me parece que la vida se vuelve cada vez más tecnológica, hay más y más opciones y más complejidad a nuestro alrededor, y siento que no conduce a la satisfacción o el bienestar. Los físicos hablan mucho acerca de la teoría de la complejidad, sobre cómo entender las reglas simples pueden generar patrones muy complejos.

Un ejemplo son las dunas, esas ondulaciones de arena que se alejan y se dividen y se unen. Hay un proceso muy simple detrás de eso, que es un grano de arena se levanta en el viento y el viento se lo lleva cada vez más rápido y luego, cuando aterriza, golpea otros granos de arena que salen volando, el viento los acelera y se crea ese efecto de contagio.

Ese proceso pequeño y sencillo crea esa hermosa evolución de las ondulaciones en las dunas de arena. Es así como las reglas simples pueden dar lugar a comportamientos complejos, y hay varios modelos de complejidad. Pero, a pesar de esfuerzos, aún no tenemos una teoría de la simplicidad: no sabemos cómo describirla matemáticamente, y mucho menos, construirla.

Una posible idea es que esté relacionada con la capacidad de adaptarse fácilmente a diferentes entornos, con encontrar las piezas fundamentales con las que podamos construir lo que necesitamos en situaciones distintas. Al mismo tiempo, ese sistema quizás sería pequeño, pues no querríamos que el número de configuraciones posibles -el número de formas de poner los bloques juntos- fuera astronómicamente grande.

Al tener demasiadas opciones gastas mucha capacidad intelectual tratando de encontrar la mejor y a veces te hace menos creativo. La música, con sus 7 notas, es un lindo ejemplo de cómo a veces las restricciones pueden hacernos más creativos.

Problema 23: Teoría de la inmortalidad

Esto es algo en lo que trabajé recientemente. En primer lugar hay una diferencia entre morir y envejecer. Y ser inmortal no significa vivir para siempre, significa que podrías vivir para siempre.

Uno se puede morir si lo atropella un auto o algo así, pero lo que es extraño sobre la vida es que envejecemos. Es como si hubiera algo dentro de la vida que dice: ‘después de cierto tiempo, tienes que morir’. Eso es muy extraño. ¿Por qué hay una muerte programada?

La creencia tradicional es que el envejecimiento es una acumulación de errores en el almacenamiento de la información biológica que nos codifica pero cada vez hay más evidencia de que no es tan simple.

Lo que nos gustaría establecer, en primer lugar, es si el envejecimiento es un proceso termodinámicamente fundamental. Un paso para hacerlo es demostrar que el envejecimiento no es inherente a la teoría fundamental de la evolución, sino que la norma es la inmortalidad.

La razón por la que morimos sería más bien porque desde el punto de vista de la selección natural es una opción evolutiva ventajosa pues abre la puerta para que la descendencia produzca mejores modelos de nosotros mismos. Si podemos probar que el envejecimiento es un atributo elegido por la selección natural y no es fundamental, tal vez podamos ralentizar ese proceso y reducir sus efectos.

Es muy misterioso pero cada vez hay más evidencia experimental que indica que así es. Lo que se descubrió, por ejemplo, con las células pluripotentes -que pueden llevarse de vuelta a su estado original y programarlas para que se conviertan en un tipo de célula diferente- es que todos los indicadores de envejecimiento de esas células también se revierten... como si la devolvieras al estado de edad 0. Además, hay un puñado de especies en las que el “programa muerte” no parece manifestarse.

Los otros 20 problemas

Para no dejarte con la curiosidad, ya que -si llegaste hasta aquí obviamente eres de los nuestros-, aquí están los demás desafíos (¡no menos interesantes!):

1. Teoría del todo

Carecemos de una sola teoría que describa el Universo. La gravedad, descrita por la relatividad general, no es consistente con nuestra teoría cuántica de campos de las otras tres fuerzas. ¿Se resolverá esto mediante la teoría de cuerdas, la gravedad cuántica de bucles o algo nuevo? ¿Cuáles son las consecuencias comprobables de tal teoría, que está más allá del límite de la experimentación humana?

2. Hipótesis de Riemann

Los intentos de resolver la hipótesis de Riemann han inspirado ramas completamente nuevas de las matemáticas. Por ejemplo, la función zeta de Riemann es el tipo más simple de función L, y parece desempeñar un papel en las matemáticas modernas similar a los polinomios en las matemáticas antiguas. ¿Qué nuevos conceptos se necesitan para resolver el más importante de los problemas abiertos?

3. Termodinámica de la vida

Según la teoría de Darwin, la evolución es el resultado de la mutación, la selección y la herencia. Pero desde una perspectiva de la física, no entendemos cómo comenzó la vida en primer lugar. ¿Cuál es la base termodinámica para la autorreplicación y la adaptación emergentes, de las cuales la biología es solo un ejemplo? ¿Se puede utilizar para crear vida artificial digital?

4. La estructura de la innovación

A pesar de los avances en nuestra comprensión de la evolución, lo que impulsa la innovación sigue siendo difícil de alcanzar. La innovación tecnológica opera en un espacio en expansión de bloques de construcción, en el que las combinaciones de tecnologías se convierten en nuevas tecnologías. ¿Podemos caracterizar la innovación de forma matemática, de modo que podamos predecirla e influir en ella a través de intervenciones?

5. Física del autoensamblaje

El autoensamblaje es cómo se pliegan las proteínas, se forman los copos de nieve y se ensamblan los virus. Se puede utilizar para fabricar objetos complejos y a nanoescala a bajo costo. Debido a que es una encarnación física de la computación, está profundamente relacionada con la decidibilidad. ¿Se puede combinar la física estadística con la teoría de la computabilidad para construir una teoría integral del autoensamblaje?

6. Constante cosmológica

Solo una pequeña fracción del Universo observable está formada por materia conocida. Se conjetura que la mayoría es materia oscura y energía oscura, para las cuales no hay consenso en la explicación. ¿Por qué la energía del punto cero del vacío cuántico no causa una gran constante cosmológica? ¿Qué lo anula? ¿Se necesita nueva física fundamental para reformular la gravedad?

7. Programa Langlands

Existe evidencia de una gran teoría unificada para las matemáticas, llamada Programa Langlands. Busca relacionar formas automórficas en geometría y teoría de números con la teoría de representación en álgebra. La prueba de Wiles del último teorema de Fermat puede verse como solo un ejemplo de ello. ¿Cómo podemos avanzar y ampliar este Programa, y qué frutos dará cuando lo hagamos?

8. IA inteligente

Lejos de acercarse a la inteligencia artificial general, la IA no ha progresado más allá del ajuste de curvas de alta dimensión. ¿Qué conocimientos matemáticos podrían conducir a una IA más inteligente, como el razonamiento causal, los módulos funcionales o una representación del entorno? ¿Existen límites fundamentales para la IA y qué podría decirnos esto sobre la inteligencia humana?

9. Reparable en lugar de robusto

Para estar seguros del éxito frente a la incertidumbre, hacemos planes que pueden hacer frente a lo inesperado. Una forma es ser robusto: capaz de absorber un revés conocido. Otro es ser reparable: fácilmente modificable ante contratiempos desconocidos. Nuestros enfoques de las amenazas, como la guerra o el cambio climático, tienden a ser sólidos. ¿Cómo sería una teoría de la reparabilidad?

10. El sistema operativo de la vida

Las redes de regulación genética gobiernan la morfogénesis y determinan la identidad celular. La concisión de virus sugiere que este software genético usa subrutinas, como software digital. ¿Cuáles son las leyes que rigen el procesamiento de la información genética? ¿Pueden arrojar luz sobre el sistema operativo de la vida, preparando el escenario para un análogo biológico de la revolución del silicio?

11. El universo matemático

Wigner notó la efectividad irrazonable de las matemáticas en física. Hoy, estamos viendo lo contrario: los intentos de avanzar en la física, como la teoría de cuerdas, están impulsando las matemáticas. ¿Existe una convergencia entre estas dos disciplinas, y debería eso influir en cuánto financiamos y avanzamos en matemáticas? ¿Se puede hacer riguroso el universo matemático de Tegmark?

12. Descripción de la estructura de la red

La ciencia de las redes, que extrae el significado de las redes del mundo real, es popular pero poco sofisticada. Para realizar su potencial, debe basarse en conceptos más rigurosos de la teoría de grafos y más allá. ¿Podemos formalizar nociones de geometría y topología de red que sean compatibles con sus análogos continuos, y una termodinámica para describir las desviaciones que se alejen de ellos?

13. Teoría del libre albedrío

14. Creatividad colectiva

En 1665, la publicación de las primeras revistas científicas aceleró la investigación al facilitar la suma de avances pequeños de varios científicos en vez de esperar a grandes progresos que, hechos en el aislamiento, podían ser más lentos. Ahora, las plataformas de colaboración anónimas como Wikipedia indican que podemos se puede acelerar mucho más. Pero, ¿por qué y cuándo funciona la creatividad colectiva? ¿Pueden las plataformas como Polymath de Gowers transformar el proceso de descubrimiento?

15. Materia programable

Podemos hacer que las superficies y los volúmenes cambien de forma mediante el uso de polímeros que respondan a la temperatura y la corriente. ¿Cuáles son el alcance y los límites de tal materia programable? ¿Podemos utilizar la geometría diferencial, los avances recientes en origami algorítmico y otras herramientas matemáticas para proporcionar un lenguaje para la ingeniería inversa de formas y mecanismos útiles?

16. Fundación de TCC

¿Se puede hacer rigurosa la teoría cuántica de campos, que describe todas las partículas e interacciones elementales? Un problema abierto es demostrar que para cualquier grupo de calibre compacto, existe una teoría de Yang-Mills en cuatro dimensiones y predice una partícula más ligera con masa positiva. Esto probablemente requerirá nuevos tipos de matemáticas y ofrecerá una nueva perspectiva de la física.

17. Dualidades matemáticas

Las dualidades juegan un papel clave en cómo formamos conocimientos en física y matemáticas. Los ejemplos incluyen la correspondencia de Langlands geométrica, dualidades a través de las teorías de cuerdas y campos cuánticos, y la clasificación ADE. ¿Son las dualidades un artefacto de cómo desciframos nuevas teorías, o tienen una causa más fundamental? ¿Podemos sistematizarlos para descubrir más?

18. IA ingeniosa

Tanto la evolución como la innovación hacen uso de módulos funcionales interoperables para aumentar las probabilidades de que los retoques tengan éxito. Pero los algoritmos de aprendizaje profundo, por el contrario, están conectados globalmente. Esto los hace difíciles de construir de manera jerárquica, así como también difíciles de entender para los humanos. ¿Podemos formular un marco para la IA que se pueda diseñar?

19. Teoría de la simplicidad

20. Conjeturas asistidas por IA

Las buenas conjeturas pueden inspirar nuevas ramas de las matemáticas. Provienen de detectar patrones y aplicar el instinto. Debido a que las matemáticas son exactas y no hay coincidencias de equivalencia, la detección automática de patrones es inmune al sesgo que normalmente se encuentra en la búsqueda de alta dimensión. ¿Pueden las máquinas ayudar a identificar las conjeturas de los candidatos y acelerar la investigación teórica?

21. Matemáticas de causalidad

La causalidad es fundamental para la forma en que hacemos predicciones y estructuramos la sociedad. Sin embargo, nuestras matemáticas para describirla son pobres. ¿Puede una teoría de la causalidad más sofisticada ayudar a desbloquear desafíos como la IA inteligente, el sistema operativo de la vida e incluso cómo construimos teorías físicas? ¿Cómo pasar de una noción microscópica a una macroscópica de causalidad?

22. Aparición de la virtud

La base del agente racional plenamente informado de la economía es inadecuada para describir el comportamiento del mundo real, especialmente la actividad virtuosa. ¿Pueden los conocimientos desde la visión microscópica de la ciencia del comportamiento y la visión macroscópica de la termodinámica formar la base de una teoría de juegos cooperativos que explique el surgimiento de la virtud en los individuos y las organizaciones?

23. Teoría de la inmortalidad

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