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Qué muestran los grandes y los pequeños números
¿Por qué el error de predicción de las ventas totales de una empresa es menor que el de cada uno de los productos que ofrece al público? ¿Por qué quien desea saber qué está ocurriendo con el bienestar económico de la población de un país, tiene que prestarle más atención al consumo agregado que a la concurrencia a los cines, las ventas de zapatillas verdes o las de helados de coco?
Al respecto entrevisté al suizo Jakob Bernoulli (1654-1705), integrante de una familia que aportó casi una decena de matemáticos de primer nivel. En su principal obra, titulada Arte de la conjetura, publicada de manera póstuma en 1713, planteó de manera rigurosa una idea sugerida por Gerolamo Cardano. Dentro de la teoría de las probabilidades, al demostrar que al aumentar el número de observaciones, el número relativo de éxitos debe estar dentro de un intervalo arbitrariamente pequeño en torno de la probabilidad teórica, con una probabilidad que tiende a la unidad, Bernoulli probó la primera versión de la ley de los grandes números.
-Ilustre con un ejemplo lo que usted descubrió.
-La probabilidad de que, si tiro una moneda al aire, la cara quede para arriba es 0,5. Pero si la tiro una vez, queda cara o queda ceca. ¿Qué quiere decir que la probabilidad es 0,5? Que si la tiro, digamos, 10.000 veces, es prácticamente seguro que el número de veces que salga cara estará muy cerca de 5000.
-Entendí. ¿Sirve también para entender por qué los errores referidos a un total son mejores que los referidos a cada uno de sus componentes?
-Efectivamente, los pronósticos de las ventas totales de una empresa están sujetos a menor error que los referidos a cada uno de los productos que ofrece, porque en algunos artículos se sobreestimará la realidad y en otros se la subestimará.
-¿Eso también ocurre en la macroeconomía?
-Así es. Con frecuencia trimestral, el FMI pronostica la variación del PBI de los países miembros, para el año en curso y para el próximo. Entiendo la pasión que tienen en su país por el pronóstico que el Fondo hace de la evolución presente y futura de la economía argentina, pero dudo mucho de que sus funcionarios sepan algo que no saben los economistas argentinos. La ley de los grandes números sugiere que tiene más sentido prestarle atención al pronóstico referido a la economía mundial que a la de cada uno de los países que la componen.
-Con gran frecuencia se le presta atención a indicadores específicos, para saber qué le está ocurriendo a la totalidad. ¿Cuál es el problema?
-Para los seres humanos los bienes no ocupan compartimientos estancos, sino que están vinculados por relaciones de sustitución y complementariedad. Se lo explico con un ejemplo: en el primer semestre de este año, una línea de ómnibus transportó muchos menos pasajeros que durante el primer semestre del año pasado. Antes de concluir que el país está en recesión hay que averiguar si la gente no decidió desplazarse en bicicleta o inauguraron una línea de subte. También podría ocurrir lo contrario: que hubiera aumentado el número de pasajeros. Antes de citarlo como ejemplo de "brote verde" habría que averiguar qué ocurrió con los medios de transporte alternativos. En plena campaña electoral cabe esperar múltiples ejemplos de esto.
-Daniel Kahneman y Amos Tversky plantearon la ley de los pequeños números. ¿Es un chiste?
-No, pero tampoco invalida las leyes de los grandes números. Bajo una denominación atractiva, ellos plantearon la siguiente situación: una persona camina hacia un pueblo, donde viven 999 abogados y un plomero, y ella lo sabe. A la entrada del pueblo se encuentra con alguien que está saliendo de allí, quien viste correctamente, pero no tiene puestos ni saco ni corbata. "Seguro que es el plomero", reflexiona. Con este ejemplo, Kahneman y Tversky muestran que, con notable frecuencia, basamos nuestros diagnósticos ignorando la información básica (en este caso, la composición, por ocupaciones, de todos los habitantes del pueblo), dejándonos llevar por algún dato individual, interpretándolo incorrectamente como representación del conjunto.
-Don Jakob, muchas gracias.
