El problema matemático que a Napoleón le urgía resolver y que tiene aplicaciones en economía, meteorología e IA

El más grande general de la historia, como muchos entendidos lo reconocen, fue un hombre de intensas pasiones. Lo que quizás no sea tan conocido es que una de ellas fue la ciencia.

“Si no me hubiera convertido en general en jefe e instrumento del destino de un gran pueblo, (…) me habría lanzado al estudio de las ciencias exactas. Hubiese hecho mi camino junto a los Galileos y los Newtons.

Y como constantemente tuve éxito en mis grandes empresas, me habría distinguido mucho también por mis trabajos científicos. Habría dejado el recuerdo de hermosos descubrimientos. Ninguna otra gloria hubiera tentado mi ambición”, dijo Napoleón Bonaparte, según el físico francés François Arago.

No solo amó la ciencia, sino que vio que los científicos podían ayudarlo en su ambicioso proyecto político. Así lo señala en el artículo Napoléon Bonaparte and Science, el destacado matemático francés Étienne Ghys, investigador emérito del Centro Nacional de Investigación Científica de Francia.

El emperador consiguió el apoyo de grandes científicos, como el matemático Gaspard Monge, considerado el inventor de la geometría descriptiva y padre de la geometría diferencial. Monge lo acompañó en la campaña en Egipto, la cual “terminó con una derrota militar, pero con un notable éxito científico”, escribió Ghys.

“¿Se había visto alguna vez en la historia un ejército de invasores al que se unieran matemáticos, naturalistas, arqueólogos y filólogos?”. De vuelta en París, en 1799, Napoleón dio el golpe de Estado que lo encaminaría hacia el poder absoluto en Francia. Bajo su protección, que incluía incentivos económicos, premios y posiciones de alta jerarquía para los científicos, la ciencia francesa vivió un periodo realmente glorioso.

La cuestión matemática

El problema del transporte óptimo se trata de cómo transportar objetos de un lugar a otro de la manera más eficiente y económica posible. Su origen se remonta a finales del siglo XVIII, a la época de la Revolución Francesa.

Lo formuló, en 1781, Monge, quien le vio su utilidad en el ámbito militar para saber cuál era la mejor manera de construir fortificaciones. Y es que le tocó vivir en un periodo en el que Europa era sacudida por conflictos bélicos. Fue con la llegada al poder de Napoleón que Monge se pudo concentrar plenamente en la cuestión que le intrigaba.

Como un gran estratega, el general también fue un promotor de la ciencia aplicada a la guerra. Le urgía una respuesta sobre las fortificaciones, no quería perder tiempo, recursos ni mano de obra en sus campañas. Así que Monge, que ya era un matemático muy reconocido y amigo de Napoleón, se halló en el momento y en el lugar perfectos para continuar profundizando en ese problema.

Complejidad

En términos prácticos, Monge, como Napoleón, quería saber dónde construir fortificaciones para minimizar costos. Pero había algo más. “Como científico, Monge estaba también interesado en la cuestión teórica que había detrás: ¿cómo funciona el transporte óptimo en la teoría?”, indica Alessio Figalli, profesor de la prestigiosa Escuela Politécnica Federal de Zúrich.

Figalli, quien ha ganado diferentes reconocimientos por sus varias contribuciones al campo de las matemáticas, conquistó en 2018, con 34 años, la Medalla Fields, considerado el Nobel de matemáticas. El transporte óptimo es precisamente uno de los conceptos en que ha concentrado su trabajo.

“Monge empezó a entender el problema desde una perspectiva geométrica y, para eso, hizo muchos dibujos”, explica. Imaginemos que tenemos dos ciudades, A y B, y queremos construir una fortificación en cada una.

Si el objetivo es minimizar el transporte de materiales, es lógico que saquemos los que necesitáremos para la construcción en A de un lugar cercano a A, y de un sitio próximo a B para la que levantaremos en B. No tendría mucho sentido extraerlos y enviarlos desde otros puntos más lejanos del país si no es necesario.

“Si solo tienes dos ciudades y dos sitios de extracción es muy fácil ver la solución: simplemente envías el material desde el lugar más cercano que haya”, señala Figalli, pero advierte: “Si empiezas a tener más ciudades y más sitios de extracción, el problema se vuelve mucho más amplio y entender qué enviar a dónde podría no ser tan obvio”.

“Quizás la cantidad de material que extraigo de un lugar no es suficiente para todas las fortificaciones que tengo que construir en esa área y necesitaré traer material de un sitio más lejano. Y si empiezas a pensar en números más grandes, por ejemplo, 10.000 ciudades y 200 puntos de extracción, el problema se vuelve más complicado. Buscas saber si hay una teoría matemática general que puedas usar”.

Una mirada económica

Monge realizó análisis muy interesantes y avanzó en el problema. Pero Figalli nos pide recordar que en el siglo XIX no existían matemáticos profesionales en el sentido moderno: los científicos hacían matemáticas y otras muchísimas cosas más.

Además, fue un periodo en el que se le dio prioridad a otras teorías matemáticas. Así es como el problema del transporte óptimo cayó un poco en el olvido: “después de Monge no pasó mucho por más de cien años”. Fue en los años 40 del siglo XX que un matemático y economista soviético lo rescató. “Leonid Kantorovich realmente entendió cómo atacar el problema”, señala el profesor.

“Desarrolló una robusta teoría matemática para estudiarlo y, a partir de eso, elaboró una teoría económica muy sólida que la gente podía usar para resolver problemas muy concretos. Por ejemplo, cómo las panaderías podían planificar la mejor manera de enviar sus panes a los distintos establecimientos de la ciudad”.

En 1975, Kantorovich fue merecedor del Premio Nobel de Economía, junto al holandés Tjalling C. Koopmans, por su trabajo en el campo de la teoría económica normativa, que es la teoría de la asignación óptima de recursos.

Son muchos los problemas que se pueden abordar con el concepto del transporte óptimo. “Piensa en el viaje hacia el trabajo que hacen las personas cada día. ¿Cuál es la manera más eficiente de que lo hagan?”, indica el experto.

“Una de las razones que hace que ese problema sea difícil es porque no se trata de una ganancia personal, sino colectiva: no es que se quiera minimizar el tiempo que tú pasas desplazándote hacia tu trabajo, lo que se busca es minimizar el tiempo total de viaje al trabajo en todas las ciudades. Eso quizás implique que tú tengas que viajar un poco más, pero si pensamos en el bienestar general de la población, la solución será la mejor posible”.

En los fluidos

En los años 80, el problema tomó un giro inesperado. El matemático francés Yann Brenier se dio cuenta de que el concepto de transporte óptimo se podía usar en el estudio de fluidos. “Fue mágico”, dice Figalli. “Nadie se lo esperaba”.

“Brenier estaba estudiando el movimiento del agua, problemas relacionados con la dinámica de fluidos, que es un campo de la matemática y también de la ingeniería en el que intentas entender cómo se transporta el agua, cómo se comporta en una tubería, en un recipiente, pero también en fenómenos físicos complejos, como un huracán. No fue que Brenier hiciera de repente un nuevo descubrimiento en dinámica de fluidos, lo que sorprendió fue que hiciera la conexión con el concepto de transporte óptimo. La gente se dio cuenta de que este problema era más rico de lo que parecía”.

“Y los matemáticos aman eso, que se establezcan conexiones entre problemas”. Surgió una especie de renacimiento del problema y en los 90 hubo un boom. “Fue como si se hubiera puesto de moda, se volvió super cool”. “Es que los matemáticos somos animales sociales. Aunque exista la leyenda de que nos quedamos en nuestras cuevas trabajando solos, en realidad la matemática es una actividad muy social en la que el intercambio de ideas es constante”.

De moda

El inicio de la década de los años 2000 fue la era dorada del problema, cuenta el profesor. Él era un muy joven estudiante en la Scuola Normale di Pisa y también se interesó en el transporte óptimo. Quedó finalmente cautivado cuando cursaba su último año de Master. Al año siguiente (en tan solo un año) obtendría su PhD.

“Este problema es muy complejo. Hay tantas variables, posibilidades, que necesitas construir una nueva teoría. Lo que se haya hecho hasta ahora no es suficiente para resolverlo y ahí está la belleza: este problema te obliga a desarrollar matemáticas nuevas”.

¿Tiene una respuesta final?, le pregunto. “En matemáticas nunca hay una respuesta final”, contesta. “En un problema como este siempre hay cosas nuevas, no es que esté solo, aislado, este es un problema macro”. Y me invita a pensar en la sangre que está circulando por mi cuerpo como un fenómeno de transporte.

“¿Estás interesada en fortificaciones? ¿Estas interesada en la sangre? Dependiendo del problema, hay diferentes respuestas”. Así es cómo entiendo lo que quiere decir cuando asegura que “nunca hay una respuesta final”: si bien pueden haber soluciones a contextos específicos y necesidades concretas, no será la respuesta definitiva a todo lo que puede llegar a implicar el concepto de transporte óptimo. Y es que sus aplicaciones parecen ser tan vastas como el cielo mismo.

Entre nubes

Y así, sin ir muy lejos, Figalli me habla de sus usos en meteorología. “Desde un punto de vista teórico, el movimiento de las nubes puede entenderse como un problema de transporte óptimo: las nubes están hechas de partículas de agua que se desplazan a medida que ellas lo hacen”.

Las técnicas que se han desarrollado en el estudio del trasporte óptimo pueden ayudar a analizar la evolución de las nubes. “¿Cómo hacer la conexión entre estas pequeñas partículas de agua que se mueven con estas nubes grandes? ¿Cómo deducir la presión, la velocidad con la que viajan? ¿Cómo conectas esta descripción microscópica con esta descripción macroscópica? ¿Cómo puedes trazar la ruta? Esa es una cuestión matemática”.

Y es que hay un principio básico: “la naturaleza quiere ser eficiente: gastar la mínima energía para hacer lo que tiene que hacer, y, por esa razón, el transporte óptimo y la naturaleza van bien juntos”. Pero también le va bien en otros contextos. Pensemos en tecnología: en vez de partículas de agua, imagina pixeles, y en vez de nubes piensa en fotos.

En las computadoras

En el machine learning o aprendizaje automático, rama de la inteligencia artificial, se busca entrenar programas informáticos para que ejecuten tareas específicas. Una de ellas es reconocer imágenes. Imagina que en tu computadora tienes una colección de fotos de animales -hay perros, gatos, elefantes, vacas- y te llega una nueva imagen de un animal que no sabes cuál es.

“Necesito comparar imágenes, ¿cómo puedo hacerlo? El transporte óptimo puede hacerlo por ti”, indica Figalli. “Quiero transportar los pixeles, o lo que componga esa nueva foto, a otra imagen y ver cuánto cuesta ese proceso. Si es muy poco, es porque la imagen en cuestión es similar a la de referencia. Es muy probable que mi foto sea la de un perro porque es muy parecida a la que ya existe de un perro”.

“Pero si cuesta mucho el transporte, significa que la imagen era muy diferente a la imagen de un perro. Por lo tanto, debe representar algo distinto”. “El metaprincipio es que el transporte óptimo es una muy buena manera de comparar imágenes, objetos, y una vez con eso, se puede usar para entrenar una red de inteligencia artificial”.

Y volvemos al punto de la belleza. “¿La ves?”, me dice el profesor con una sonrisa. “A la matemática no le importa si lo que transportas es un objeto concreto o abstracto, puede ser material de construcción, panes, gente yendo a trabajar, una imagen, un píxel. Es siempre un objeto del cual sacamos modelos, hacemos fórmulas, se vuelve abstracto y haces lo que quieras. Siempre tienes nuevas aplicaciones”.

En tu vida

Así, este problema cuya formulación se remonta al siglo XVIII está presente en nuestras vidas. Piensa por un momento en cuando te mudas, me dice Matteo Bonforte, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas de España.

“Hay que mover cosas de una casa a otra y dispones de una furgoneta o un camión. ¿Cómo colocar tus pertenencias en la camioneta de una forma óptima, de modo que cueste lo menos posible: un menor número de viajes, un menor esfuerzo para las personas a cargo?” Para Bonforte es clave seguir adentrándose en problemas como el transporte óptimo.

“Alessio Figalli es una de estas mentes maravillosas de las cuales hay una por generación”. “Es muy importante que los matemáticos de primera fila como él, los top-top-top, se dediquen a estos problemas porque pueden ver cosas que ‘los mortales comunes no ven’, crean conexiones entre cosas que parecen muy diferentes, pero con las gafas oportunas, al final se observa que el mecanismo subyacente, el principio básico, es el mismo y los congrega”.

Destaca que Figalli ha podido resolver problemas que han estado abiertos desde muchos años, lo que hace que la teoría desarrollada se pueda aplicar a “problemas de la vida real”. “Es fundamental que estas grandes figuras de las matemáticas se ocupen de estos problemas porque además le dan un impulso a toda la comunidad: muchos investigadores se ‘suben al carro’, el problema se pone ‘de moda’ y eso genera un avance del conocimiento espectacular, siempre por la razón de que somos animales sociales”.

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