Paul Cohen, el matemático que por resolver un problema terminó creando dos mundos

En 1900, en un salón de conferencias de la histórica universidad parisina Sorbona, un alemán llamado David Hilbert le puso a los asistentes la tarea de matemáticas probablemente más difícil de la historia. No eran, como suelen ser, ejercicios para aprender; eran preguntas que no tenían respuesta. Aún.

Hilbert era uno de los ponentes del Congreso Internacional de Matemáticos y la tarea era una lista de los que consideraba como los 23 problemas más importantes por solucionar. La legendaria lista, conocida como “los problemas de Hilbert”, definió las matemáticas de la era moderna. Muchos se resolvieron, otros no, pero tanto los intentos exitosos como los fallidos llevaron al desarrollo de matemáticas muy profundas a lo largo del camino.

Encabezando la lista estaba una duda que dejó en el aire una de las mentes más geniales de la historia: la de Greog Cantor, el matemático que se propuso conquistar el infinito. Su inclusión era controvertida, pues muchos en esa época rechazaban los abstractos mundos que Cantor les estaba mostrando.

Hilbert, sin embargo, era uno de los que lo apoyaban.

Infinitos

Cantor fue la primera persona en comprender realmente el significado del infinito y darle precisión matemática. Antes de él, el infinito era un concepto complicado y resbaladizo que realmente no parecía ir a ninguna parte.

Cantor mostró que el infinito se podía entender perfectamente y que, de hecho, no había un solo infinito sino muchos. Probó que el infinito de los números enteros (1, 2, 3, 4...) era más pequeño que el de los decimales infinitos (0,0000149000...; 0,179249239...).

Así, abrió la puerta a un inmenso y desconcertante territorio por explorar en el que se contaban infinitos. Y Cantor lo exploró sin tregua, resolviendo muchos interrogantes en el camino. Pero hubo uno que no pudo solucionar por más que lo intentó, aquel que llegó a conocerse como la hipótesis del continuo.

¿Habrá un infinito entre el más pequeño de los números enteros y el más grande de los decimales? Esa era la primera pregunta de la tarea que Hilbert le puso a sus colegas ese día de 1900 en la Sorbona.

Depende...

Cinco décadas más tarde, en Estados Unidos, un adolescente decidió enfrentarse a algunos de los principales problemas de las matemáticas. Desde muy pequeño, Paul Cohen había ganado concursos y premios matemáticos, pero al principio le resultó difícil descubrir un campo en las matemáticas en el que realmente pudiera dejar su huella, hasta que leyó sobre la hipótesis del continuo de Cantor.

Hasta entonces, todos los intentos por resolver el problema, incluido el del mismo Hilbert, habían fracasado. El único que había logrado rozar la línea final era el lógico, matemático y filósofo austríaco Kurt Gödel, miembro del Instituto de Estudios Avanzados (IEA) en Princeton. Con el arrojo de la juventud, Paul Cohen, de 22 años, decidió que podía hacerlo.

Un año después, reapareció con un extraordinario descubrimiento. ¿Había un infinito más grande que el conjunto de todos los números enteros pero más pequeño que el conjunto de los decimales?

Sí. Y... No. Las dos respuestas podían ser verdaderas.

¿¡Cómo!?

La hipótesis del continuo decía que no había un infinito en medio de esos dos infinitos. Cohen mostró que había una matemática en la que la hipótesis podía asumirse como cierta. Pero había otra forma de matemáticas igualmente consistente en la que esa misma hipótesis podía asumirse como falsa: en ese ámbito había un conjunto infinito entre el de los enteros y el de los decimales.

Era una solución increíblemente atrevida y la demostración ofrecida por Cohen parecía cierta y correcta, pero su método era tan nuevo que nadie estaba absolutamente seguro. Sólo había una persona en cuya opinión todos confiaban: la de Gödel.

Gödel no había logrado demostrar que la hipótesis del continuo era realmente cierta, pero sí que era consistente, lo que significa que con los métodos matemáticos con los que se contaba, no se podía probar que fuera falsa.

Había recorrido un largo camino y logrado llegar a la puerta tras la cual estaba la solución. Y aunque no había podido abrirla, era él quien le podía confirmar a Cohen que, efectivamente, había logrado lo que se había propuesto.

Sello de aprobación

Gödel comprobó la prueba y la declaró correcta. “Acabas de lograr el progreso más importante en la teoría de conjuntos desde su axiomatización”, le escribió a Cohen en una carta. “Tu prueba es la mejor posible”, le escribió en otra. “Leerlo es como leer el libreto de una obra realmente buena”.

Con el sello de aprobación de Gödel, todo cambió. Hoy en día, los matemáticos insertan una declaración que indica si el resultado depende de la hipótesis del continuo. Y es que se construyeron dos mundos matemáticos diferentes en los que una respuesta es sí y la otra, no.

Ahora, para la pregunta de si Paul Cohen sacudió el universo matemático, la única respuesta es afirmativa.