¿“Monedas cargadas”? Qué chances hay de que un árbitro manipule el lanzamiento en un sorteo entre capitanes

Será inevitable, lo veremos por la pantalla del televisor o del celular al comienzo de cada partido: una moneda dirimirá de qué lado jugará un equipo en el primer tiempo y quién sacará. Ahora bien, ¿por qué, en tiempos de IA, es necesario acudir a semejante artificio? ¿Cuánto hay de rito y cuánto de “tecnología social” en tener que apelar a algo que en su función económica ha sido reemplazado por alternativas digitales?

Primero, lo primero. Ya en las “reglas de la escuela de Harrow” de 1858 (antecedente histórico de las reglas modernas del fútbol) se mencionaba explícitamente el uso de la moneda para dirimir qué equipo iniciaba el juego, costumbre que se adoptó desde los inicios del mundial de fútbol a la actualidad. O sea, hay un componente relevante de tradición en esta práctica atávica, que jugadores y espectadores esperan y respetan.

Pero más allá de las costumbres, lanzar una moneda y atraparla en el aire es casi “el” evento azaroso por excelencia, al punto tal de que todo aquel que haya tomado -aunque más no sea una clase de probabilidades- se haya enfrentado a ejemplos con monedas para discutir aspectos importantes de la probabilidad. La cuestión es que, más allá de ciertas disquisiciones profundamente filosóficas, todo el mundo entiende que no hay ninguna forma obvia de acertar exactamente el resultado de tirar una moneda, y que, sin mayores elucubraciones, las chances de que salga “cara” coinciden con las de “ceca”.

Como “tecnología social”, el evento físico de lanzar una moneda parece brindar la necesaria dosis de transparencia que garantiza que los eventos que determina el resultado de lanzarla son equiprobables y, en consecuencia, justos. O sea, ninguna persona “común” tiene un dominio tal de sus dedos o del viento como para favorecer espuriamente a alguien. El lanzamiento de una moneda permite a todos los involucrados (jugadores, espectadores) “fiscalizar” la ecuanimidad del resultado con solo ver el lanzamiento, no hace falta apelar al VAR ni ninguna otra tecnología. Por el contrario, aun cuando crear una simple app en el celular requiere mínimos conocimientos de programación, la operatoria de que el árbitro dirima estas cuestiones presionando su índice en un celular abre la puerta al vendaval conspirativo al que es afecto el aficionado al fútbol, máxime cuando el resultado no lo favorece. Es decir, la “tecnología” de revolear una moneda satisface el triple propósito de respetar un ritual, proveer una solución ecuánime a una decisión, y que puede ser visiblemente monitoreada y validada por todos los involucrados.

Pero resulta que, hilando fino, hay muchas cuestiones delicadas en el lanzamiento de la moneda para dirimir cuestiones. A saber:

1-No está definido con precisión qué significa “lanzar una moneda”. Las vigentes reglas de la IFAB (International Football Association Board) mencionan cuatro veces la palabra “moneda” pero jamás dicen cómo es que el árbitro debe lanzarla, cuestión que parece quedar (razonablemente) relegada a las buenas costumbres. Convengamos que, si el árbitro comienza con la moneda en posición horizontal, con la cara hacia arriba, y la levanta mínimamente que caiga en su mano, en el resultado obtenido no hay suerte posible. Es esperable que para que el azar haga su tarea, la moneda debería dar varias vueltas en el aire. Las reglas imperantes no hablan de esta cuestión que, como veremos al final de esta nota, no son tan irrelevantes.

2-En condiciones “normales” (no como las aberrantes del punto anterior) ¿Dónde está el azar en lanzar una moneda? En la falta de control preciso de la posición inicial de lanzamiento, en dónde se le da el golpe inicial a la moneda, en la posible interferencia del viento y otros factores, y en que el árbitro no es ningún prestidigitador profesional. Al respecto, el matemático y mago Persi Diaconis fabricó una “máquina” (que el lector podrá encontrar fácilmente en internet) que le permite controlar exactamente todos estos factores y, consecuentemente, eliminar el azar y predecir exactamente el resultado que saldrá. La “impericia” del árbitro (como mago) es, justamente lo que introduce azar y, por lo tanto, ecuanimidad.

3-El mismo Persi Diaconis publicó un sorprendente artículo en donde muestra que una moneda lanzada al aire no es perfectamente justa: si se la lanza con una técnica consistente, tiende a caer más veces del mismo lado con el que comenzó. La razón es física, no estadística. La moneda suele dar un número finito y bastante predecible de vueltas durante el vuelo. Y como las condiciones iniciales (posición, velocidad y rotación) no son completamente aleatorias, el resultado conserva parte de la información del estado inicial. Si bien existe, en la práctica esta ventaja es ínfima y no afecta de manera alguna al clásico 50-50 de chances de cara o ceca. Diaconis es el primero en reconocer la naturaleza freak de la conclusión y dice, explícitamente, que “para las monedas lanzadas al aire, los resultados clásicos de independencia con probabilidad 0.5 son bastante sólidos”, para desilusión de más de un referí inescrupuloso que querría hacerse unos pesos con este truco.

4-Si bien es posible “cargar un dado”, resulta que no hay tal cosa como una “moneda cargada”. Creer o reventar. El estadístico y divulgador Andrew Gelman muestra en un famoso paper científico (con Deborah Nolan) que, aunque una moneda real puede presentar asimetrías físicas, una moneda lanzada correctamente al aire y atrapada con las manos no puede sesgarse: no importa cómo se la pese o deforme, siempre caerá cara o ceca con probabilidad cercana a 50%. La explicación física es elegante: cuando una moneda gira rápidamente en el aire, la ley de conservación del momento angular hace que pase la mitad del tiempo con cara hacia arriba y la otra mitad hacia abajo, de modo que al atraparla ambos resultados son igualmente probables sin importar cómo esté distribuido su peso. El sesgo sí aparece, en cambio, si la moneda se hace girar sobre una superficie o se deja rebotar en el piso. El lector incrédulo debería hacer lo mismo que el autor de esta nota con sus alumnos: intentar “cargar” una moneda, lanzarla y atraparla, y ver, luego de repetidos intentos, que la física y la matemática tienen razón: sale cara y ceca con chances 50%, sin importar como uno la cargue.

5-Hasta ahora hablamos de cara y ceca, pero ¿no es posible que ocurra otro resultado? Gravedad mediante, la moneda a la larga caerá, lo que nos permite descartar la posibilidad de que la moneda flote permanentemente. Pero hemos implícitamente descartado ... ¡que caiga de canto! En matemática es peligroso decir “jamás”. Y resulta que en 2016, en el partido de la eliminatoria entre Colombia y Paraguay, el árbitro brasileño Héber Lopes lanzó la moneda al aire, que termino clavada de canto en el piso. Esto nos remite al comienzo de la discusión, y muestra que definir qué es “lanzar una moneda” no es una jactancia de físicos y matemáticos.

Más allá de estas curiosidades y disquisiciones, el fútbol profesional está repleto de esos “pasos de comedia” que sazonan la práctica del más bello de los deportes. Y así, cuando empiece un partido bravo, repetiremos una vez más ciertas costumbres, como ponerse tal o cual camiseta o sentarse exactamente en el mismo lugar de siempre. Costumbres, jamás cábalas. Porque, como decía el inefable Carlos Salvador Bilardo, con relación a sus famosas mañas: “yo no tengo cábalas, tan solo costumbres que respeto”.

El autor es profesor de UdeSA. Escribió Viajar al futuro (y volver para contarlo): la ciencia detrás de los pronósticos, Siglo XXI

Por Walter Sosa Escudero

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