La matemática ya no es lo que era

La matemática ha comenzado a sufrir en los últimos meses una revolución que implicará seguramente cambios más profundos que los que hemos visto en los últimos cientos de años. Cuando hacia fines de 2022 los grandes modelos de lenguaje (LLM por su sigla en inglés, los que están detrás de ChatGPT o Claude y a los que solemos referirnos —desafortunadamente— como IA) empezaron a amenazar con ocuparse de muchos trabajos realizados hasta entonces por humanos, pocos imaginamos que los nuestros, los de los matemáticos, iban a estar entre los primeros de la lista.

El 20 de julio pasado, Levent Alpöge, matemático de Harvard y Anthropic, publicó en X un mensaje de una línea: “hello there the jacobian conjecture is false thanx”. Hola, la conjetura jacobiana es falsa, gracias. Debajo, una fórmula de tres renglones.

Una conjetura es una afirmación que mayoritariamente creemos verdadera, pero que nadie logró demostrar aún. Su resolución se produce o bien cuando alguien logra demostrarla, o cuando alguien encuentra un contraejemplo que prueba su falsedad. Si alguien conjetura que todos los números impares son primos, podemos demostrar fácilmente la falsedad de esa conjetura exhibiendo el número 9 (nuestro contraejemplo), que es impar pero divisible por 3.

El detalle es que esa fórmula no la encontró Alpöge. La encontró un modelo de lenguaje, Claude Fable 5, en unas horas de trabajo conjunto. La conjetura jacobiana se resistió a lo largo de ochenta y siete años, para luego ser demolida en unas pocas horas con ayuda de un LLM.

Dos meses antes, un modelo de OpenAI había sido utilizado para refutar una conjetura que Paul Erdős planteó en 1946: si uno pone muchos puntos en un plano, ¿cuántos pares pueden quedar exactamente a distancia uno? Erdős conjeturó que la mejor manera de acomodarlos era la más obvia: en cuadrícula. El modelo encontró algo mejor. Timothy Gowers, ganador de la medalla Fields, afirmó que si el autor del descubrimiento hubiera sido un humano, habría recomendado su publicación en la más prestigiosa revista de matemática.

El 1 de agosto OpenAI anunció Astra, un sistema que realizó avances significativos en diez problemas abiertos que llevaban al menos una década sin progreso. A partir de ahí, la catarata de contraejemplos y teoremas demostrados con ayuda de los LLM no paró de crecer.

Las computadoras vienen ayudando a los matemáticos desde hace décadas, es cierto. Pero hacían otra cosa: calculaban, verificaban miles de casos, exploraban ejemplos que a una persona le llevarían una vida. El camino, el argumento, la forma de hacer confluir mundos aparentemente separados, los ponía siempre un humano. Hoy las máquinas producen algo que se parece mucho al razonamiento sofisticado. Lo hacen rápido, barato y en paralelo. Y por si fuera poco, conocen prácticamente toda la matemática publicada.

La discusión sobre qué tipos de problemas matemáticos pueden resolver los LLM y cuáles no, está aún completamente abierta, pero la era en que los LLM prueban teoremas, desprueban conjeturas y resuelven problemas relevantes, con diversos grados de dificultad —y diversos grados de intervención humana— ya está entre nosotros. Su velocidad es temible y su nivel de progreso no parece estar cerca de estancarse.

Durante miles de años la demostración fue un bien escaso: cada teorema costaba años de una vida, a veces varias vidas encadenadas, y toda nuestra manera de organizar la disciplina se construyó alrededor de esa escasez.

Terence Tao, uno de los matemáticos vivos más influyentes, lo planteó así en el Congreso Internacional de Matemáticos de este año: pasamos de una era de escasez de demostraciones a una de abundancia, un cambio que transforma la disciplina como la industrialización transformó a los artesanos. O más.

En julio se subieron a arXiv, el repositorio donde los matemáticos publicamos nuestros trabajos, 5696 artículos de matemática. En el mismo mes del año pasado habían sido 3948. El crecimiento interanual proyectado para agosto es superior al 50%.

Daniel Litt lo describe como un peligro concreto: que la estrategia dominante para hacer carrera pase a ser “jugarle a la máquina tragamonedas de las conjeturas”, es decir, tirarle problemas abiertos a un LLM hasta que alguno salga. Y señala otro síntoma: en MathOverflow, el foro donde los matemáticos del mundo nos preguntamos y respondemos cosas entre nosotros, hay desde hace un año menos preguntas y menos respuestas.

Tao nombra otro riesgo: la indigestión. “Podemos tener demostraciones de 100.000 líneas que hay que verificar, pero que nadie entiende”. Y advierte que si los matemáticos no nos hacemos ciertas preguntas, nos las va a contestar una empresa de tecnología.

¿Bueno o malo? ¿A favor o en contra? Tengo más dudas que certezas, pero esa no aparenta ser la pregunta correcta. Parece más urgente distinguir lo inevitable de aquello sobre lo que tenemos agencia, para orientar lo segundo hacia donde creamos conveniente. La alineación de incentivos aparece como crucial. Que los modelos encuentren demostraciones de teoremas que nosotros nunca imaginamos parece ya inevitable. Que la comunidad deje de conversar no lo es.

Hugo Duminil-Copin, otra medalla Fields, optó por no depender de la IA como fuente de ideas novedosas para su investigación. “Lo que realmente importa no es la respuesta en sí, sino el camino que conduce a ella. Por lo tanto, deseo seguir siendo, en cierto modo, un matemático artesanal”.

Noga Alon, matemático de Princeton, calcula que a lo largo de su carrera resolvió unas cuantas docenas de problemas de Erdős. Ya dejó de intentarlo. “Desde que la IA empezó a resolverlos, no tiene más sentido”, dijo a Quanta Magazine.

Bill Thurston, uno de los grandes geómetras del siglo pasado, escribió, mucho antes de poder imaginar este escenario, que la pregunta correcta no es cómo demuestran teoremas los matemáticos, sino cómo hacen avanzar la comprensión humana de la matemática. “No estamos tratando de cumplir una cuota abstracta de definiciones, teoremas y demostraciones”, decía. La demostración suele presentarse como la meta final, pero es más bien la excusa perfecta para entender tan profundamente como sea posible. O lo era hasta ahora.

Personalmente, creo que no vamos a renunciar a entender, aunque puede que en eso haya más de deseo que de pronóstico fundado. En la medida en que el objetivo sea avanzar en la comprensión humana de la matemática, habrá larga vida tanto para la matemática como para los matemáticos. Thurston está más vigente que nunca.

En medio de tanta incertidumbre, podemos, aunque sea, intentar formularnos las buenas preguntas, o al menos las más urgentes: ¿Cómo vamos a formar a los futuros matemáticos? ¿Cuál va a ser su aporte? Tenemos claro que no queremos enseñarles a tirar de la palanca del tragamonedas. Pero ¿qué sí queremos enseñarles? ¿Cómo vamos a rediseñar nuestras instituciones —universidades, revistas científicas, concursos, subsidios, criterios para contratación y evaluación— para que incentiven la ciencia y la formación de recursos humanos de alta calidad, y no la producción masiva de trabajos que nadie leerá?

No tenemos aún las respuestas. Pero sospecho que el peor escenario no es que las máquinas nos superen demostrando teoremas, sino que nos distraigamos discutiendo si eso pasará y no conversemos a tiempo sobre qué queremos cuidar, qué novedades queremos aprovechar y cómo haremos para lograrlo.

Por Pablo Groisman

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