Por qué el 142857 es un número mágico que fascina a los matemáticos desde hace siglos
Empezó a llamar la atención hace mucho tiempo y deslumbró a los estudiosos de la teoría de números; enterate en esta nota el motivo
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142857 es un número famoso, al menos en ciertos círculos... y juguetón. Empezó a llamar la atención de eminentes matemáticos hace siglos y fascinó a los estudiosos de la teoría de números. Los esotéricos también lo apreciaron. Entre sus entusiastas se cuentan ocultistas como Willis F. Whitehead, para quien 142857 era “la expresión numérica de la vida, la luz y el amor”. Pero en un plano más mundano, se convirtió en un clásico de las matemáticas recreativas.
Se popularizó gracias a figuras como Martin Gardner y Shakuntala Devi -la calculadora mental india conocida como la “computadora humana”-, quienes mostraron que cualquiera podía divertirse explorando sus curiosidades. El número tuvo incluso un papel protagónico en la novela de culto La estrella de Ratner (1976), del aclamado autor posmoderno estadounidense Don DeLillo, en la que un grupo de científicos intenta descifrar el significado de un mensaje transmitido por una estrella distante de la Vía Láctea: esos seis dígitos.
Para los magos es especialmente atractivo porque les permite sorprender creando la ilusión de que pueden predecir lo que ocurrirá o leer mentes, aprovechando sus peculiares propiedades numéricas. Uno de los trucos que cualquiera de nosotros puede hacer empieza pidiéndole a quien quieras maravillar que tome la calculadora del teléfono y escriba 10101. Luego, sin mirar, decile que lo multiplique por cualquier número del 1 al 6, lo divida por 7 y lo multiplique por 99. Con absoluta confianza, declará que el resultado contiene exactamente los dígitos 1, 2, 4, 5, 7 y 8.
Pero, ¿qué lo hace tan peculiar?
La razón matemática de su atractivo
Para empezar a descubrir lo asombroso del 142857 vale la pena multiplicarlo. No te preocupes: de eso nos encargamos nosotros, vos solo fijate en el resultado.
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142
¿Notaste que todos los resultados contienen los mismos dígitos, solo que en diferente orden? Nuestro número está compuesto por 6 dígitos, y al multiplicarlo por cada uno de los números del 1 al 6, obtenemos todas las rotaciones posibles de esas seis cifras.
Esa propiedad inusual lo convierte, en términos matemáticos, en un número cíclico: un número de n dígitos que, al multiplicarse por cualquiera de los enteros del 1 al n, produce como resultado una rotación de sus propios dígitos en el mismo orden circular.
Pero volvamos a observar las multiplicaciones, pues hay más peculiaridades. Por ejemplo, cuando multiplicamos 142857 por 3, el resultado es 428571. Es como si los números estuvieran unidos por un hilo invisible circular: si cortás ese hilo en cualquier lugar, el resultado sigue el patrón en el sentido de las agujas de un reloj. En este caso, es como si hubiéramos cortado ese hilo entre los números 1 y 4, pero los que le siguen a ese 4 mantienen el mismo orden, hasta completar el círculo.
Eso ocurre con todos: al multiplicarlo por 6, el resultado empieza con 8 y continúa con lo que se encuentra al girar: 5, 7, 1, 4 y 2. Pero, ¿qué pasa si cruzás el umbral y lo multiplicas 142857 por 7?
La magia del 7
Si multiplicamos 142857 por 7, algo asombroso ocurre: el resultado es 999999. Es como si, después de seis rotaciones mágicas, el número quisiera seguir divirtiéndonos. Ya que estamos con los nueves, podemos hasta jugar con sus partes:
14 + 28 + 57 = 99
142 + 857 = 999
1428 + 5714 + 2857 = 9999
¿Dejámos convenientemente por fuera 1+4+2+8+5+7 porque da 27? Pues sí (solo que si somos fieles al patrón de dar resultados con el mismo número de dígitos que la suma, 2+7=9).
Otra curiosidad es que si insertás un 9 en el centro del número, de manera que quede 142 9 857, al multiplicarlo por cualquier número del 1 al 6, el producto conserva la naturaleza cíclica, manteniendo siempre un 9 en el centro.
Volviendo a 142857 × 7, el resultado no es casual: está directamente relacionado con el hecho de que 142857 es el período decimal de 1/7, y esa relación explica por qué sus dígitos giran con tanta armonía y por qué su carrusel funciona tan impecablemente.
Si dividís 1 entre 7, obtenés:
1 ÷ 7 = 0,142857142857142857…
Los seis dígitos (142857) se repiten una y otra vez, indefinidamente. Ese bloque repetitivo es lo que en matemáticas se llama el período de la fracción decimal. Ahora viene la clave: cuando dividís 2, 3, 4, 5 o 6 entre 7, la secuencia 142857 reaparece siempre, pero comenzando en un punto distinto del ciclo.
Y luego, el ciclo se cierra:
7 ÷ 7 = 1
Así que, el 999999 que surgió cuando multiplicamos 142857 por 7 no es casual: es el eco de ese 1, que en lenguaje matemático también se puede escribir como 0,999999…
Si querés verlo en un terreno más cotidiano, dividí el número de los días del año por el de los días de la semana.
365 ÷ 7 = 52.142857
Ahí está nuestro número, precedido por 52, que son las semanas que hay en año.
Ese 0,142857 añadido que equivale a 1 día.
Efectivamente, cada año no bisiesto “avanza” el calendario un día de la semana, por ejemplo: si un año empieza en lunes, el siguiente empezará en martes.
Si querés ver esa relación entre el 7 y el 142857 al revés, aquí está:
1 ÷ 142857 = 0,000007000007…
Más allá del 7
¿Se acabará el juego si nos pasamos del 7?
142857 x 8 = 1142856.
A primera vista, da la impresión de que sí, pero si tomamos el resultado, apartamos el primer dígito y lo sumamos, obtenemos:
1 + 142856 = 142857... el número original, empezando por el dígito más pequeño.
Puede parecer forzado, pero resulta que, si seguimos haciendo lo mismo, aparece sin cesar el número cíclico, comenzando por sus dígitos en orden ascendente (1, 2, 4, 5, 7, 8):
142 857 × 9 = 1285 713 → 1 + 285 713 = 285 714
142 857 × 10 = 1428 570 → 1 + 428 570 = 428 571
142 857 × 11 = 1571 427 → 1 + 571 427 = 571 428
Y así sigue, hasta llegar a...
142857 x 14 = 1999998
1 + 999998 = 999999
Algo similar ocurre al multiplicar por 21 (2 999 997 → 2 + 999 997 = 999 999), 28, 35... En fin, ya habrás dilucidado el patrón: todos son múltiplos de 7.
Los matemáticos recreativos fueron más lejos, para ver si pueden retornar al origen.
Un ejemplo de muchos es:
142857 x 142857 = 20408122449
Marcando 6 dígitos (n) desde la derecha, y sumando lo que queda...
122449 + 20408 = 142857
Si te parece poco...
142857 x 6.430.514.712.336 = 918.644.040.260.183.952
Y, usando el mismo método de tomar de a 6 dígitos desde la derecha...
183952 + 040260 + 918644 = 1142856.
Como se pasa de 6 dígitos, sería 1 + 142856 = 142857.
En fin, por grande o enrevesada que sea la trayectoria, 142857 siempre encuentra el camino de regreso.
¿Solo ellos?
Aunque el 7 y el 142857 son especiales, no son únicos. Se encontraron muchos más, aunque no se sabe cuántos habrá. Lo que sí se sabe es que, entre todos, 142857 se distingue no solo por ser el primero con el que te topas sino también por ser el único que no empieza con cero.
El siguiente número cíclico que hallas es 0588235294117647, que es el resultado de dividir 1 entre 17.
Sus 16 dígitos se comportan de manera similar: al multiplicarlos por cualquiera de los números del 1 al 16, el producto es siempre una rotación cíclica de esos mismos dígitos, sólo que el carrusel es más largo.
Y cuando lo multiplicas por 17, el resultado es 99999999999999999, es decir, 16 nueves, así como para 142857 x 7 es 6 nueves.
Fijate en algo que los caracteriza: la cantidad de dígitos que componen un número cíclico es siempre uno menos que la cifra que lo genera. El generado por el 7 tiene 6 dígitos; el de 17 tiene 16 dígitos.
Otra particularidad fundamental salta a la vista al mirar los números menores de 100 que generan cíclicos: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 y 97. Todos son primos. Aunque no todos los números primos producen un cíclico, todos los números cíclicos nacen de un primo.
Para tener el don de creación de cíclicos, el número primo debe cumplir una propiedad especial: al dividir 1 entre él, se debe obtener una secuencia repetitiva de dígitos cuya longitud es, como observamos, exactamente uno menos que su valor.
Gracias a eso, los dígitos pueden girar en un carrusel perfecto, sin perder ninguno ni repetirse antes de tiempo. Ese es el secreto que garantiza que cada dígito tenga su lugar y que el ciclo nunca se rompa.
Hasta hoy, los números cíclicos no tienen aplicaciones prácticas en ingeniería, finanzas o ciencia aplicada, pero sí fueron útiles en teoría de números, criptografía teórica y codificación. Y, por supuesto, también sirvieron como herramienta educativa y recreativa, perfecta para explorar patrones numéricos y despertar la curiosidad matemática.
*Por Dalia Ventura
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