Cómo un mago-matemático reveló el punto ciego de un casino
Persi Diaconis, licenciado de la Universidad de Stanford, junto a su colaboradora, la estadística de Stanford Susan Holmes, pudieron adivinar correctamente nueve o diez cartas por mazo, suficientes para duplicar o triplicar la ventaja de un contador de cartas competente
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Cuando una banda de jugadores de cartas descubrió que podían hacer trampa y ganarle a la casa, sin darse cuenta pusieron de relieve un fallo en la máquina que barajaba los naipes de modo aleatorio. Hizo falta un mago convertido en matemático para revelar cómo lo hicieron.
Los ejecutivos de la industria estaban ansiosos. Su empresa fabricaba máquinas barajadoras de cartas de precisión para casinos.
Miles de sus artefactos estaban en funcionamiento en Las Vegas y en todo el mundo. Las tarifas de alquiler generaban millones de dólares cada año y la empresa cotizaba en la bolsa de Nueva York.
Sin embargo, los ejecutivos habían descubierto recientemente que una banda de estafadores había pirateado una de sus máquinas.
La pandilla usó una cámara de video oculta para grabar el funcionamiento del barajador de cartas a través de una ventana de vidrio.
Las imágenes, transmitidas a un cómplice que estaba afuera, en el estacionamiento del casino, se reprodujeron en cámara lenta para descubrir la secuencia de cartas en la baraja, que luego se transmitió a los jugadores que estaban adentro.
El casino perdió millones de dólares antes de que finalmente atraparan a la pandilla.
Los ejecutivos estaban decididos a no ser hackeados nuevamente. Habían desarrollado el prototipo de una máquina barajadora nueva y sofisticada, esta vez encerrada en una caja opaca.
Sus ingenieros aseguraron que la máquina lograría barajar de un modo lo suficientemente aleatorio como para necesitar una sola pasada de este dispositivo, algo que reduciría el tiempo entre las diferentes manos, vencería a los contadores de cartas y a los crupieres corruptos.
Pero necesitaban estar seguros de que su máquina barajaba correctamente. Necesitaban a Persi Diaconis.
De Stanford a Las Vegas
Diaconis, un mago convertido en matemático por la Universidad de Stanford, es considerado el principal experto del mundo en las matemáticas del barajado de cartas.
A lo largo de la literatura académica sorprendentemente extensa sobre este tema, su nombre sigue apareciendo como el as de picas en el truco de la prestidigitación de un ilusionista.
Cuando los ejecutivos de la compañía lo contactaron y le ofrecieron dejarle ver el funcionamiento interno de su máquina, una “caja negra” literal, no podía creer su suerte.
Con su colaboradora, la estadística de Stanford Susan Holmes, Diaconis viajó a la sala de exhibición de la compañía en Las Vegas para examinar un prototipo de su nueva máquina.
Ambos descubrieron pronto una falla. Aunque la acción mecánica de barajar parecía aleatoria, los matemáticos notaron que el mazo resultante todavía tenía secuencias ascendentes y descendentes, lo que significaba que podían hacer predicciones sobre el orden de las cartas.
Para probar esto a los ejecutivos de la compañía, Diaconis y Holmes idearon una técnica simple para adivinar qué carta se entregaría a continuación. Si la primera carta lanzada fue, supongamos, el 5 de corazones, adivinaron que la siguiente carta sería el 6 de corazones, asumiendo que la secuencia era ascendente. Si la siguiente carta era realmente más baja, un 4 de corazones, por ejemplo, significaba que estaban en una secuencia descendente y su próxima suposición sería el 3 de corazones.
Con esta estrategia simple, los matemáticos pudieron adivinar correctamente nueve o 10 cartas por mazo, una quinta parte del total, suficientes para duplicar o triplicar la ventaja de un contador de cartas competente.
El conteo de cartas es una práctica en la que un jugador realiza un seguimiento de las cartas que se han repartido para tener una ligera ventaja al predecir la probabilidad de que la próxima carta sea ganadora o perdedora.
La práctica ha existido durante décadas (y en algunos juegos como Bridge es una parte legítima del juego), pero está fuertemente reprimida en juegos de casino como el Blackjack. El uso de tecnología para ayudar a contarlas cartas está prohibido.
Los ejecutivos estaban horrorizados. “No estamos satisfechos con sus conclusiones”, le escribieron a Diaconis, “pero les creemos y para eso lo contratamos”.
La compañía archivó silenciosamente el prototipo y cambió a una máquina diferente.
Un encuentro mágico
Diaconis ha pasado toda su vida estudiando los problemas que existen en las fronteras entre el orden y el azar. Ya sea decodificando mensajes, reensamblando hebras de ADN u optimizando motores de búsqueda web, tiene la habilidad de transformar estos problemas en una cuestión de barajar cartas.
Su interés por los naipes comenzó con un encuentro casual en 1958. Cuando tenía 13 años, en el Emporio Mágico de Tannen en Times Square en la ciudad de Nueva York, Diaconis conoció a Alex Elmsley, un científico informático y mago escocés de voz suave que había dominado el “barajeo perfecto”.
A veces llamado “el barajeo faro” o simplemente “la técnica”, la mezcla perfecta implica dividir un mazo en dos pilas de exactamente 26 cartas cada una y tejerlas perfectamente como una cremallera, intercalando alternativamente una carta de cada mano.
Muy pocas personas pueden hacerlo correctamente en menos de 10 segundos. Diaconis está en ese grupo.
El barajeo perfecto ha sido utilizado por jugadores y magos durante siglos porque da la ilusión de mezclar las cartas al azar. Pero está lejos de ser aleatorio.
De hecho, si realiza la misma secuencia de mezclas perfectas ocho veces seguidas, el mazo restaurará mágicamente su orden original.
A Diaconis le gusta demostrar esta técnica tomando un mazo nuevo y escribiendo la palabra “ALEATORIO” con un marcador negro grueso en un lado.
A medida que realiza su juego de manos con las cartas, las letras se mezclan, apareciendo de vez en cuando en forma fantasmal, como una imagen imperfectamente sintonizada en un viejo televisor.
Luego, después de mezclar por octava y última vez, la palabra vuelve a materializarse en el lateral de la baraja. Las cartas están en su secuencia original exacta, desde el as de picas hasta el as de corazones.
Tras el rastro de crupieres corruptos
De vuelta en el Emporio Mágico de Tannen, Elmsley explicó las matemáticas sutiles detrás del truco.
Imagina que numeras una nueva baraja de cartas del uno al 52, donde uno es la carta en la parte superior de la baraja y 52 es la carta en la parte inferior.
A medida que realizas el barajeo perfecto, las cartas se mueven a nuevas posiciones. Por ejemplo, el naipe que originalmente estaba en la posición dos se moverá a la posición tres, mientras que el naipe en la posición tres se moverá a la posición cinco, el de la posición 27 volverá a la posición dos y así sucesivamente.
La combinación perfecta se puede considerar como una serie completa de ciclos, como juegos separados de sillas musicales. El número de barajeos necesarios para devolver las cartas a su orden correcto es el mínimo común múltiplo de la duración de todos los ciclos: en este caso, ocho barajeos (ocho es el múltiplo más pequeño de uno, dos y ocho).
Al año siguiente, con 14 años, Diaconis se escapó de casa para aprender magia bajo la guía de un famoso mago de los juegos de manos. Pasaron 10 años viajando, aprendiendo todos los estilos posibles de barajar y rastreando a los crupieres corruptos para aprender sus técnicas.
Pero su conversación con Elmsley había despertado la curiosidad de Diaconis.
¿Qué otras conexiones existen entre las matemáticas y la magia?
Una baraja, muchos modos de mezclarla
Diaconis dice que en su lápida habrá tallados “siete barajeos son suficientes”. Se refiere a su constatación más famosa: que se necesitan siete “barajeos rápidos” para aleatorizar suficientemente un mazo de cartas.
Este “barajeo rápido” es la técnica habitual, utilizada porcasinos yjugadores de cartas serios, en la que el mazo se corta en dos, luego se junta como una suerte de cremallera y a menudo se termina con una especie de puente que junta las cartas en una pila ordenada.
Es el gemelo rebelde del barajeo perfecto. En lugar de intercalar perfectamente las dos mitades de las barajas, las mitades se mezclan en grupos desordenados, plantando una semilla de aleatoriedad que mezcla progresivamente las cartas con cada barajado.
Después de una o dos mezclas aleatorias, algunas cartas permanecerán en su secuencia original. Incluso después de cuatro o cinco barajeos (mucho más de lo que suelen usar la mayoría de los casinos), el mazo conservará algo de orden.
Pero una vez que se hace siete veces, quedan mezcladas realmente, al menos hasta donde pueden demostrar la mayoría de las pruebas estadísticas.
Más allá de ese punto, mezclar más no servirá de mucho. “Es lo más aleatorio posible”, dice Diaconis.
La cadena de Markov
Para estudiar rigurosamente las mezclas rápidas, Diaconis usó una poderosa herramienta matemática llamada cadena de Markov.
“Una cadena de Markov es cualquier acción repetida cuyo resultado depende únicamente del estado actual y no de cómo se alcanzó ese estado”, explica Sami Hayes Assaf, matemática de la Universidad del Sur de California.
Esto significa que las cadenas de Markov no tienen “memoria” de lo que vino antes. Es un modelo bastante bueno para barajar cartas, dice Assaf.
El resultado de la séptima baraja depende únicamente del orden de las cartas después de la sexta mezcla, no de cómo se barajó la baraja las cinco veces anteriores.
Las cadenas de Markov se usan ampliamente en estadística e informática para manejar secuencias de eventos aleatorios, ya sean barajas de cartas, átomos que vibran o fluctuaciones en los precios de las acciones.
En cada caso, el “estado” futuro (el orden de la baraja, la energía de un átomo, el valor de una acción) depende solo de lo que sucede ahora, no de lo que sucedió antes.
A pesar de su simplicidad, las cadenas de Markov se pueden usar para hacer predicciones sobre la probabilidad de ciertos eventos después de muchas interaciones.
El algoritmo PageRank de Google, que clasifica los sitios web en los resultados de su motor de búsqueda, se basa en una cadena de Markov que modela el comportamiento de miles de millones de usuarios de Internet que hacen clic aleatoriamente en enlaces web.
Trabajando con Dave Bayer, un matemático de la Universidad de Columbia en Nueva York, Diaconis demostró que la cadena de Markov que describe el barajeo rápido tiene una transición brusca de ordenada a aleatoria después de siete mezclas.
Este comportamiento, conocido por los matemáticos como un fenómeno de corte, es una característica común de los problemas que involucran mezclas.
Piensa en mezclar la crema con el café: a medida que revuelves, la crema forma finas vetas blancas en el café negro antes de que se mezclen repentina e irreversiblemente.
Saber en qué lado del corte está una baraja de cartas, si se barajó correctamente o si aún conserva algún recuerdo de su orden original, brinda a los jugadores una clara ventaja contra la casa.
Más sofisticación para evitar las trampas
En la década de 1990, un grupo de estudiantes de Harvard y el MIT pudieron superar las probabilidades jugando al Blackjack en los casinos de EE.UU. mediante el conteo de cartas y otros métodos para detectar si la baraja se barajó correctamente.
Los casinos respondieron introduciendo máquinas más sofisticadas para mezclar las cartas, así como intensificando la vigilancia de los jugadores. Pero todavía es raro ver un mazo de cartas mezclado por una máquina las siete veces requeridas en un casino.
Es posible que los ejecutivos de los casinos no hayan prestado mucha atención a Diaconis y su investigación, pero sigue teniendo una enorme influencia en los matemáticos, estadísticos e informáticos que estudian la aleatoriedad.
En una conferencia celebrada en Stanford en enero de 2020 para honrar el 75º cumpleaños de Diaconis, colegas de todo el mundo dieron charlas sobre las matemáticas de la clasificación genética, cómo se asienta el cereal en una caja vibratoria y, por supuesto, cómo barajar las cartas.
A Diaconis no le gusta mucho apostar; dice que hay formas mejores y más interesantes de ganarse la vida. Pero no envidia a los jugadores que intentan obtener una ventaja usando sus cerebros.
“Pensar no es hacer trampa”, dice. “Pensar es pensar”.
*Shane Keating es escritor científico y profesor titular de matemáticas y oceanografía en la Universidad de Nueva Gales del Sur, Sídney.
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